【题目】如图,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点(与点、不重合),过点作轴于点,交直线于点,连接、.设点的横坐标为,的面积为.求关于的函数解析式及自变量的取值范围,并求出的最大值;
(3)已知为抛物线对称轴上一动点,若是以为直角边的直角三角形,请直接写出点的坐标.
【答案】(1);(2),当时,有最大值,最大值;(3),
【解析】
(1)由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将点C(0,3)代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程,解方程即可求出a的值,从而得出抛物线的解析式;
(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b.结合点B、点C的坐标利用待定系数法求出直线BC的函数解析式,再由点D横坐标为m找出点D、点E的坐标,结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式求出函数解析式,利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形,从而得出结论;
(3)先求出对称轴,设M(1,y),然后分分BM为斜边和CM为斜边两种情况求解即可;
解:(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
又∵点C(0,3)在抛物线图象上,
∴3=a×(0+1)×(0-3),解得:a=-1.
∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
∴抛物线解析式为;
(2)设直线的函数解析式为,
∵直线过点,,
∴,解得,
∴,
设,,
∴,
∴,
∵,
∴当时,有最大值,最大值;
(3)∵,
∴对称轴为直线x=1,
设M(1,y),
则CM2=1+(y-3)2=y2-6y+10,
BM2=y2+(1-3)2=y2+4,
BC2=9+9=18.
当BM为斜边时,
则y2-6y+10+18= y2+4,
解得
y=4,
此时M(1,4);
当CM为斜边时,
y2+4+18= y2-6y+10,
解得
y=-2,
此时M(1,-2);
综上可得点的坐标为,.
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【题目】汽车刹车后,还会继续向前滑行一段距离,这段距离称为“刹车距离”刹车距离y(m)与刹车时的车速x(km/h)的部分关系如表:
刹车时的车速 | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 |
刹车距离 | 0 | 5.5 | 21 | 46.5 | 82 |
(1)求出y与x之间的函数关系式.
(2)一辆车在限速120km/h的高速公路上行驶时出了事故,事后测得它的刹车距离为40.6m,问:该车在发生事故时是否超速行驶?
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【题目】已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,AE∥BC,BE与AD、AC分别相交于点F、G, .
(1)求证:△CAD∽△CBG;
(2)联结DG,求证:.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB'、CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则
=__(结果保留根号).
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【题目】消费者在某火锅店饭后买单时可以参与一个抽奖游戏,规则如下:有张纸牌,它们的背面都是小猪佩奇头像,正面为张笑脸、张哭脸.现将张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上,然后让消费者去翻纸牌.
(1)现小杨有一次翻牌机会,若正面是笑脸的就获奖,正面是哭脸的不获奖,她从中随机翻开一张纸牌,小杨获奖的概率是________.
(2)如粜小杨、小月都有翻两张牌的机会,小杨先翻一张,放回后再翻一张;小月同时翻开两张纸牌.他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖.他们谁获奖的机会更大些?通过画树状图或列表法分析说明理由.
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【题目】定义:方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程.
(1)已知x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解,求c的值;
(2)若一元二次方程ax2﹣2x+c=0无解,求证:它的倒方程也一定无解;
(3)一元二次方程ax2﹣2x+c=0(a≠c)与它的倒方程只有一个公共解,它的倒方程只有一个解,求a和c的值.
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【题目】如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,DE⊥AB于点E,过点E的直线交BC于点G,且BG=CG.
(1)求证:GD=EG.
(2)若BD⊥EG垂足为O,BO=2,DO=4,画出图形并求出四边形ABCD的面积.
(3)在(2)的条件下,以O为旋转中心顺时针旋转△GDO,得到△G′D'O,点G′落在BC上时,请直接写出G′E的长.
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【题目】如图,抛物线经过,两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.
求抛物线的表达式;
求证:AB平分;
抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以AB为直角边的直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,点E位于边BC上,已知BD是BA与BE的比例中项.
(1)求证:∠CDE=∠ABC;
(2)求证:ADCD=ABCE.
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