[题目]如图.BD是△ABC的角平分线.点E位于边BC上.已知BD是BA与BE的比例中项．(1)求证:∠CDE=∠ABC,(2)求证:ADCD=ABCE．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项．

（1）求证：∠CDE=∠ABC；

（2）求证：ADCD=ABCE．

【答案】证明见解析

【解析】试题分析:(1)根据BD是AB与BE的比例中项可得, BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=∠DBE,可证△ABD∽△DBE, ∠A=∠BDE. 又因为∠BDC=∠A+∠ABD,

即可证明∠CDE=∠ABD=∠ABC,(2) 先根据∠CDE=∠CBD,∠C=∠C,可判定

△CDE∽△CBD,可得.又△ABD∽△DBE,所以,,所以

试题解析:（1）∵BD是AB与BE的比例中项,

∴,

又BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBE,

∴△ABD∽△DBE,

∴∠A=∠BDE.

又∠BDC=∠A+∠ABD,

∴∠CDE=∠ABD=∠ABC,即证.

（2）∵∠CDE=∠CBD,∠C=∠C,

∴△CDE∽△CBD,

∴.

又△ABD∽△DBE,

∴,

∴.

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科目：初中数学 来源： 题型：

【题目】【题目】已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【解析】试题分析：（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a<b，判断a<0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．

试题解析：(1)∵抛物线有一个公共点M(1,0)，

∴a+a+b=0，即b=2a，

∴抛物线顶点D的坐标为

(2)∵直线y=2x+m经过点M(1,0)，

∴0=2×1+m，解得m=2，

∴y=2x2，

则

得

∴(x1)(ax+2a2)=0,

解得x=1或

∴N点坐标为

∵a<b，即a<2a，

∴a<0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为

设△DMN的面积为S，

(3)当a=1时，

抛物线的解析式为：

有

解得：

∴G(1,2)，

∵点G、H关于原点对称，

∴H(1,2)，

设直线GH平移后的解析式为：y=2x+t，

x2x+2=2x+t，

x2x2+t=0，

△=14(t2)=0，

当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0)，

把(1,0)代入y=2x+t，

t=2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是

【题型】解答题
【结束】
26

【题目】摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O为圆心OA为半径的的中点P着地，地面NP与相切，已知∠AOB=60°，半径OA=60cm，靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°，C为OA的中点，CD=80cm，当摇椅沿滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度．