Question

【题目】如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．

（1）求证：GD＝EG．

（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．

（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，12；（3）．

【解析】

（1）如图1，延长EG交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△CGH≌△BGE，可得GE=GH，由直角三角形的性质可得DG=EG=GH；
（2）通过证明△DEO∽△DBO，可得，可求DE=，由平行线分线段成比例可求EG=，GO=EG-EO=，由勾股定理可求BG=CG=，可得DE=AD，即点A与点E重合，可画出图形，由面积公式可求解；
（3）如图3，过点O作OF⊥BC，由旋转的性质和等腰三角形的性质可得GF=G'F，由平行线分线段成比例可求GF的长，由勾股定理可求解．

证明：（1）如图1，延长EG交DC的延长线于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，

∵AB∥CD，

∴∠H＝GEB，又∵BG＝CG，∠BGE＝∠CGH，

∴△CGH≌△BGE（AAS），

∴GE＝GH，

∵DE⊥AB，DC∥AB，

∴DC⊥DE，

∴DG＝EG＝GH；

（2）如图1：∵DB⊥EG，

∴∠DOE＝∠DEB＝90°，且∠EDB＝∠EDO，

∴△DEO∽△DBO，

∴，

∴DE×DE＝4×（2+4）＝24，

∴DE＝

∴EO＝，

∵AB∥CD，

∴，

∴HO＝2EO＝，

∴EH＝，且EG＝GH，

∴EG＝，GO＝EG﹣EO＝，

∴GB＝，

∴BC＝＝AD，

∴AD＝DE，

∴点E与点A重合，

如图2：

∵S四边形ABCD＝2S△ABD，

∴S四边形ABCD＝2××BD×AO＝6×2＝12；

（3）如图3，过点O作OF⊥BC，

∵旋转△GDO，得到△G′D'O，

∴OG＝OG'，且OF⊥BC，

∴GF＝G'F，

∵OF∥AB，

∴，

∴GF＝BG＝，

∴GG'＝2GF＝，

∴BG'＝BG﹣GG'＝，

∵AB2＝AO2+BO2＝12，

∵EG'＝AG'＝.