Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．

（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）t=

【解析】试题分析：（1）由题意得出BM，CN， BN，BA，分两种情况讨论：①当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解出t；②当△BMN∽△BCA时， ，解出t；

（2）过点M作MD⊥CB于点D，得到DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，得到CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解出t．

试题解析：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时， ，∴，解得：t=；

当△BMN∽△BCA时， ，∴，解得：t=，

∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；

（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB== （cm），BD=BMcosB== （cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．