Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE＝CE；

（2）若BC＝8，AD＝10，求四边形BFCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形BFCD的面积为16．

【解析】

（1）由AB＝AC可得，然后根据垂径定理的推论即可证得结论；

（2）先根据ASA证得△BED≌△CEF，从而可得CF＝BD，于是可推得四边形BFCD是平行四边形，进一步即得四边形BFCD是菱形；易证△AEC∽△CED，设DE＝x，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求出x的值，再根据菱形面积公式计算即可.

（1）证明：∵AB＝AC，∴，

∵AE过圆心O，∴BE＝CE；

（2）解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BED=∠CEF=90°，

∵CF∥BD，∴∠DBE＝∠FCE，

∴△BED≌△CEF（ASA），∴CF＝BD，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵AD⊥BC，∴平行四边形BFCD是菱形；

∴BD=CD，∴，∴∠CAE＝∠ECD，∵∠AEC＝∠CED=90°，

∴△AEC∽△CED，∴，∴CE2＝DEAE，

设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴CE=4，AE=10－x，

∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去），

∴DF＝2DE＝4，

∴四边形BFCD的面积＝×4×8＝16．