Question

已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上．
（1）求抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出此抛物线并标出点A和点B；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的解析式；
（3）在（2）中平移后的抛物线与x轴交于点C、B′，试在直线AB′上找一点P，使以C、B′、P为顶点的三角形为等腰三角形，并写出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）根据题意得解之得，
∴y=-x²-x+4．

（2）∵四边形AA′B′B为菱形
∴AA′=B′B′=AB=5
∵y=-x²-x+4=-（x+1）²+，
∴向右平移5各单位的抛物线的解析式为y′=-（x-4）²+．

（3）抛物线y′=-（x-4）²+．
与x轴有两个交点坐标，分别是C（2，0）B′（6，0），B′C=4，
设直线AB′的解析式是y=kx+b
解得，
直线解析式为y=-x+3，与y轴交于点M（0，3）；
①作线段BC的垂直平分线交直线AB′于点P₁，点P₁的横坐标为4则
y=-×4+3=1，
∴P₁（4，1）；
②以点B′为圆心，B′C长为半径作弧，交直线与点P₂，P₃
∵B′C=4，
∴P₂B′=4，
过点P₂作H₁ P₂⊥x轴
∴△P₂H₁B′∽△MOB′
∴=，=
∴P₂H₁=，
当y=时，-x+3=，
解得：x=6-
∴P₂（6-，）有对称性可知P₃的纵坐标为-，
∴P₃（6+，-）；
③以点C为圆心，CB′长为半径作圆，交直线AB′于点P₄，设P₄（m，-m+3）
则（2-m）²+（-+3）²=16，
解这个方程得m₁=-，m₂=6，
∴P₄（-，）
满足条件得点p共有4个，分别是P₁（4，1），P₂（6-，），P₃（6+，-），P₄（-，）．
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把已知抛物线向上下左右平移后求其解析式，需将已知抛物线化成顶点式，根据“左加右减上加下减”的原则求出平移后的抛物线；
（3）已知两定点，在限定的直线上求一点使它和已知两定点构成等腰三角形，需分两种情况考虑：一是这两定点为等腰三角形的底，做这条线段的垂直平分线，垂直平分线与限定直线的交点即为所求的其中一个点；二是这两定点为等腰三角形的腰，分别以这两定点为圆心，两定点确定的线段长为半径作圆，这两个圆与限定直线的交点即为所求．
点评：本题考查了一次函数、二次函数，一元二次方程，三角形的有关计算，这种用圆规找点的方法不会漏掉任何一个点，达到找点时不重不漏的要求．