Question

如图，已知二次函数y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，连接AC、CB．
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）过点C作CD∥x轴，交二次函数图象于点D，若点M在线段AB上以每秒1个单位的速度由点A向点B运动，同时点N在线段CD上也以每秒1个单位的速度由点D向点C运动，连接线段MN，设运动时间为t秒（0＜t≤6）．
①是否存在时刻t，使MN=AC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据二次函数y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，解得A、B、C三点的坐标值．再利用A、B、C三点的坐标值得到线段OA、OC、OB的长，进而得到

OC

OA

=

OB

OC

=2．再利用相似直角三角形的判定定理，证得△AOC∽△COB．
（2）首先根据二次函数y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的图象与y轴相交于点C点的坐标值，求得C点的坐标值．进而根据CD∥x轴，求得D点的坐标值．
①观察图形不难发现MN=AC，那么四边形ACNM是平行四边形或四边形ACNM是等腰梯形，因而就这两种情况讨论．
②根据A、B、C、D的坐标值求得BC²=80，BD²=AC²=20，CD²=100．得到△CBD是直角三角形（即BC⊥BD），进而得到四边形MNDB是平行四边形．找出用t表示的线段MN、NB关系式．求得t值．

解答：（1）证明：A（2，0），B（8，0），C（0，-4）．
∵

OC

OA

=

OB

OC

=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；

（2）解：D（10，-4），CD=10．BM=6-t，CN=10-t．
①当四边形ACNM是平行四边形时，AM=CN．此时，t=10-t，得t=5；
当四边形ACNM是等腰梯形时，MB=ND．6-t=t，得t=3；
②∵BC²=80，BD²=AC²=20，CD²=100，
∴BC²+BD²=CD²，
∴BC⊥BD．
∴MN∥BD．
因而此时，四边形MNDB是平行四边形，6-t=t，得t=3．

点评：本题着重考查了二次函数解析式、平行四边形的判定和性质、梯形的性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．（2）中弄明白满足条件MN=AC时四边形ACNM是平行四边形、四边形ACNM是等腰梯形是解题的关键；满足条件MN⊥BC时，四边形MNDB是平行四边形．