Question

（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；

（2）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？

Answer 1

【考点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，可求得∠ABC与∠ACB的度数，然后由BD=BA，CE=CA，分别求得∠BAD与∠CAE的度数，继而求得答案；

（2）首先设∠BAC=α，然后由AB=AC，用α表示出∠ABC与∠ACB的度数，继而由BD=BA，CE=CA，分别求得∠BAD与∠CAE的度数，则可求得答案．

【解答】解：（1）∠DAE=45°．

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵AB=BD，AC=CE，

∴∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，

∴∠BAD=（180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CAE=∠ACB=22.5°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°；

（2）∠DAE=∠BAC．

理由：设∠BAC=α，

∵AB=AC，

∴∠B=（180°﹣α），

∵BA=BD，

∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B），

∴∠CAD=α﹣（180°﹣∠B）=α﹣90°+∠B，

∵CA=CE，

∴∠CAE=∠ACB=∠B，

∴∠DAE=α﹣90°+∠B+∠B+∠B=α﹣90°+∠B，

∴∠DAE═α﹣90°+（180°﹣α）=α，

∴∠DAE=∠BAC．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．注意用设∠BAC=α，然后用α表示出各角是解此题的关键．