Question

记三角形三边长为a、b、c，对应边上的高为h_a、h_b、h_c，请解答：
（1）已知h_a：h_b：h_c=2：3：4，且这三角形周长为26cm，求a、b、c．
（2）若三角形的三条高分别为2、x、6，求x的取值范围．
（3）若三条高分别为2、x、6的三角形是直角三角形，求x．
（4）若三条高分别为2、x、6的三角形是等腰三角形，求x．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的面积,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：综合题

分析：（1）设h_a=2k，h_b=3k，h_c=4k，根据三角形的面积公式列出等式，得出a：b：c=6：4：3，再由三角形的周长为26cm，即可得出答案；
（2）设三角形的面积为s，根据三角形的面积公式，可用含s的代数式分别表示a、b、c的值，再根据三角形三边关系定理列出不等式组，求解即可；
（3）设三角形的面积为s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．显然a＞c，所以分两种情况进行讨论：①如果a为斜边；②如果b为斜边．对每一种情况，都可以利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；
（4）设三角形的面积为s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．显然a＞c，所以分两种情况进行讨论：①a=b；②b=c．对每一种情况，列方程求出解以后，利用三角形三边关系定理检验．

解答：解：（1）设h_a=2k，h_b=3k，h_c=4k，则

1

2

ah_a=

1

2

bh_b=

1

2

ch_c，
即

1

2

a×2k=

1

2

b×3k=

1

2

c•4k，
∴2a=3b=4c，
∴a：b：c=6：4：3，
又∵a+b+c=26cm，
∴a=12cm，b=8cm，c=6cm；
（2）设三角形的面积为s，则
s=

1

2

ah_a=a，s=

1

2

bh_b=

1

2

bx，s=

1

2

ch_c=3c，
∴a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

，
又a-c＜b＜a+c，
即 s-

s

3

＜

2s

x

＜s+

s

3

，
∴

1

3

＜

1

x

＜

2

3

，
∴

3

2

＜x＜3；
（3）设三角形的面积为s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．
显然a＞c，分两种情况：
①如果a为斜边，那么a²=b²+c²，
即s²=(

2s

x

)2+(

s

3

)2，
解得x=

3 2

2

；
②如果b为斜边，那么b²=a²+c²，
即(

2s

x

)2=s²+(

s

3

)2，
解得x=

3 10

5

．
故所求x的值为=

3 2

2

或

3 10

5

；
（4）设三角形的面积为s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．
显然a＞c，分两种情况：
①如果a=b，那么s=

2s

x

，解得x=2；
②如果b=c，那么b+c＜a，不满足三角形三边关系定理，故舍去．
故所求x=2．

点评：本题考查了三角形的周长、面积公式，三角形三边关系定理，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，有一定难度．设辅助未知数s是解题的关键．