Question

如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交于点E，且AB=AE．
（1）求证：AD⊥PD；
（2）若圆的半径为

 

，BP=1．求证：△ABE是等边三角形．（题中横线上的数字被墨迹污染了，请你填上半径的值，并证明这个题目）

Answer 1

分析：（1）连接OC，因为PD切⊙O于C，所以得到∠OCP=90°若要证明AD⊥PD，可转化为证明∠ADC=90°，即证明OC∥AE问题可得证．
（2）若：△ABE是等边三角形，则∠OBC=60°，所以△COB是等边三角形，∠P=30°，所以∠BCP=30°，即BC=OC=BP=1．

解答：（1）证明：连接OC，
∵0C=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵AB=AE，
∴∠E=∠OBC，
∴∠E=∠OCB，
∴OC∥AE．
∴∠ADC=∠OCP．
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCP=90°．
∴∠ADC=90°．
∴AD⊥PD．

（2）若圆的半径为1时，△ABE是等边三角形．
证明：∵OB=OC=1 BP=1，
∴0C=

1

2

OP．
∴∠OPC=30°，
∴∠COB=60°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=60°．
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；平行的性质；等边三角形的判断方法，有一定的综合性．