【题目】已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2+mx+n的图象上,当x1=1、x2=3时,y1=y2.
(1)①求m;②若抛物线与x轴只有一个公共点,求n的值.
(2)若P(a,b1),Q(3,b2)是函数图象上的两点,且b1>b2,求实数a的取值范围.
(3)若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2,求n的范围.
【答案】(1)①m=-4;②n=4 ;(2)a>3或a<1 ;(3)n≥5
【解析】试题分析:(1)①利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2,则根据抛物线对称轴方程得到=2,然后解方程即可得到m的值;
②利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=m2﹣4n=0,然后解方程即可得到n的值;
(2)利用二次函数的性质,由于x1=1、x2=3时,y1=y2,点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大,于是可得到a<1或a>3;
(3)由于对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2,则判断二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1,根据顶点坐标公式得到≥1,然后解不等式即可.
试题解析:解:(1)①∵当x1=1、x2=3时,y1=y2,∴点A与点B为抛物线上的对称点,∴抛物线的对称轴为直线x=2,即=2,∴m=﹣4;
②∵抛物线与x轴只有一个公共点,∴△=m2﹣4n=0,而m=﹣4,∴n=4;
(2)∵x1=1、x2=3时,y1=y2,而抛物线开口向上,∴当a>3时,b1>b2,或a<1时,b1>b2,即实数a的取值范围为a<1或a>3;
(3)∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2,∴二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1,即≥1,∴n≥5.
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【题目】如图:(1)写出△ABC中点A、点C坐标;(2)画出△ABC绕点A管好逆时针旋转90°后的△AB'C';(3)在(2)的条件下,求点C旋转到C'所经过的路线长。(结果保留)
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【题目】某中学开展“唱红歌”比赛活动,九年级(1)、(2)班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示.
班级 | 平均数(分) | 中位数 | 众数 |
九(1) | 85 | 85 | |
九(2) | 80 |
(1)根据图示填写上表;
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩较好;
(3)计算两班复赛成绩的方差,并说明哪个班级的成绩较稳定.
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【题目】如图,矩形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴,物体甲和物体乙由点A(2,0)同时出发,沿矩形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是( )
A. (1,﹣1) B. (2,0) C. (﹣1,1) D. (﹣1,﹣1)
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【题目】如图,已知A(-4,)、B(2,-4)是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB和轴的交点C的坐标;
(3)求方程的解(请直接写出答案);
(4)求不等式的解集(请直接写出答案).
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,a),B(0,b)在y轴上,点 C(m,b)是第四象限内一点,且满足,△ABC的面积是56;AC交x轴于点D,E是y轴负半轴上的一个动点.
(1)求C点坐标;
(2)如图2,连接DE,若DEAC于D点,EF为∠AED的平分线,交x轴于H点,且∠DFE=90°,求证:FD平分∠ADO;
(3)如图3,E在y轴负半轴上运动时,连EC,点P为AC延长线上一点,EM平分 ∠AEC,且PM⊥EM于M点,PN⊥x轴于N点,PQ平分∠APN,交x轴于Q点,则E在运动过程中,的大小是否发生变化,若不变,求出其值;若变化,请说明理由.
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【题目】如图,△AOB是等边三角形,且B(2,0),OC是AB边的中线,将△AOB绕点O逆时针旋转120°得到△A1OB1.
(1)B1的坐标是_______(直接写出结果即可);
(2)请画出将△A1OB1绕点O逆时针旋转120°得到的△A2OB2,并按图形旋转规律画出阴影部分;
(3)计算点B旋转到点B1所经过的弧形路线长(结果保留π).
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【题目】如图,在△ABC和△DEF中,∠ACB=∠EFD=90°,点B、F、C、D在同一直线上,已知AB⊥DE,且AB=DE,AC=6,EF=8,DB=10,则CF的长度为___________.
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