Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度lx=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度ly=|4﹣0|=4．

（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则lx　 　，ly　 　．

（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当lx=ly时，求点D的坐标．

（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足lx=ly≤1时，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4；3；（2）（﹣，）或（﹣10，﹣14）；（3）0≤a＜．

【解析】

（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．PC=4-x，然后依据lx=ly，列方程求解即可；
（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．

解：（1）∵A（3，3），

∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．

∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3．

∵B（4，1），

∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．

∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4．

故答案为：4；3．

（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=2x+6．

∵PD⊥x轴，

∴P（x，0）．

∴PC=4﹣x．

∵lx=ly，

∴2x+6=4﹣x，解得；x=﹣．

∴D（﹣，）．

如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=﹣2x﹣6．

∵PD⊥x轴，

∴P（x，0）．

∴PC=4﹣x．

∵lx=ly，

∴﹣2x﹣6=4﹣x，解得；x=﹣10．

∴D（﹣10，﹣14）．

综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣10，﹣14）．

（3）如图3所示：

设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）．

∵lx=ly，

∴（b+a）（b﹣a）=b﹣a，即（b+a﹣1）（b﹣a）=0．

∵b≠a，

∴b+a=1．

又∵0≤a＜b，

∴a+a＜1，

∴0≤a＜．