Question

7．某货船在索马里海域航行中遭遇海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该船在方位角45°，距离10海里的C处，并测得该船正沿方位角105°的方向，以每小时10海里的速度向前行驶，我海军护航舰立即以每小时10$\sqrt{3}$海里的速度前去营救，求护航舰的舰向和靠近货船所需的时间．

Answer 1

分析 过点B作BM⊥AC的延长线于点M，设所需时间为t小时，则AB=10$\sqrt{3}$t，CB=10t，先根据∠DAC、∠ECB的度数求出∠BCM，从而求出CM=5t，BM=5$\sqrt{3}$t，
再根据AB=2BM求出∠BAM的度数，再求出∠BAD的度数得出护航舰的舰向，根据勾股定理得出AM²+BM²=AB²，再代入得出（10+5t）²+（5$\sqrt{3}$t）²=（10$\sqrt{3}$t）²，最后求出t的值即可．

解答 解：过点B作BM⊥AC的延长线于点M，
设所需时间为t小时，则AB=10$\sqrt{3}$t，CB=10t，
∵∠DAC=45°，
∴∠ACF=45°，
∵∠ECB=105°，
∴∠BCF=75°，
∴∠ACB=45+75=120°，
∴∠BCM=60°，
∴CM=5t，BM=5$\sqrt{3}$t，
∴AM=10+5t，AB=2BM，
∴∠BAM=30°，
∴∠BAD=75°，
∴护航舰的舰向为北偏东75°，
在Rt_^△ABF中，
∵AM²+BM²=AB²，
∴（10+5t）²+（5$\sqrt{3}$t）²=（10$\sqrt{3}$t）²，
∴t=1或t=-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴护航舰靠近货船所需的时间为1小时；
答：护航舰的舰向为北偏东75°，靠近货船所需的时间为1小时．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角、锐角三角函数、特殊角的三角函数值，关键是根据题意求出角的度数．