Question

14．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于O，过O作直线EF∥AB，交AD、BC于E，G，交DC延长线于F，求证：FO²=FG•FE．

Answer 1

分析 延长AE，BC交于点K，由于EH∥BC，于是得到△DEF∽△DKC，△DEG∽△DKB，推出$\frac{FG}{OF}=\frac{BK}{AK}$，由于EH∥BC，于是得到△AEG∽△AKC，△AEH∽△AKB，推出$\frac{OF}{EF}=\frac{BK}{AK}$，等量代换得到$\frac{FG}{OF}=\frac{OF}{EF}$，于是得到结论．

解答 解：延长DF，AB交于点K，
∵EF∥AB，
∴△CFG∽△CKB，△CFO∽△CAK，
∴$\frac{FG}{BK}=\frac{CF}{CK}$，$\frac{OF}{AK}=\frac{CF}{CK}$，
∴$\frac{FG}{BK}=\frac{OF}{AK}$，
∴$\frac{FG}{OF}=\frac{BK}{AK}$，
∵EF∥AB，
∴△DFO∽△DBK，△DEF∽△DAK，
∴$\frac{OF}{BK}=\frac{DF}{DK}$，$\frac{EF}{AK}=\frac{DF}{DK}$，
∴$\frac{OF}{BK}=\frac{EF}{AK}$，
∴$\frac{OF}{EF}=\frac{BK}{AK}$，
∴$\frac{FG}{OF}=\frac{OF}{EF}$，
∴FO²=FG•FE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．