Question

3．如图，小明从一个圆形场地边沿点A出发，按逆时针方向运动，先沿∠OAB=α的方向走到场地边沿的点B，再沿∠OBC=α的方向走到场地边沿的点C…，照此继续行走并依字母顺序标记，结果点F首次越过了点A并恰好处于$\widehat{AB}$的中点．如果小明希望下一次行走路线正好是⊙O的内接正九边形，那么他应将最初的角α增大或减小多少度？

Answer 1

分析 根据题意求出α的度数，然后求出小明下一次行走路线正好是⊙O的内接正九边形的角的度数，求差即可．

解答 解：由题意可知，小明每一次沿∠OAB=α的方向走，则每一次转过的圆心角是180°-2α，
运动到点F一共运动了5次，多转了$\frac{1}{2}$（180°-2α）=90°-α，
则5（180°-2α）=360°+90°-α，
解得α=50°，
若构成正九边形，则运动了九次，
设沿β的度数转动，9（180°-2β）=360°，
β=70°，
β-α=70°-50°=20°．
答：他应将最初的角α增大20度．

点评 本题考查的是正多边形和圆的知识，掌握正多边形的中心角的计算方法是解题的关键．