Question

18．已知a＜0，关于x的方程$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+a}$+$\frac{1}{x+{a}^{2}}$=0，求证：
（1）方程必有两个异号实根；
（2）正根必小于-$\frac{2}{3}$a，负根必大于-$\frac{2}{3}$a²．

Answer 1

分析 （1）方程去分母整理得到关于x的一元二次方程，根据a＜0，判断根的判别式大于0，且两根之积小于0，即可得到方程必有两个异号实根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，且x₁＞0＞x₂，利用求根公式表示出两根，利用不等式的性质化简即可得证．

解答 证明：（1）方程去分母得：3x²+（2a²+2a）x+a³=0，
设方程的两根为x₁，x₂，
∵a＜0，∴-a³＞0，a⁴＞0，a²＞0，即a⁴-a³+a²＞0，
∴△=（2a²+2a）²-12a³=4a⁴+8a³+4a²-12a³=4a⁴-4a³+4a²=4（a⁴-a³+a²）＞0，且x₁x₂=$\frac{{a}^{3}}{3}$＜0，
则方程必有两个异号实根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，且x₁＞0＞x₂，
∵x=$\frac{-2{a}^{2}-2a+2\sqrt{{a}^{4}-{a}^{3}+{a}^{2}}}{6}$=$\frac{-{a}^{2}-a±a\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{3}$，
∴x₁=$\frac{-{a}^{2}-a-a\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{3}$＜$\frac{-{a}^{2}-a-a\sqrt{{a}^{2}-2a+1}}{3}$=$\frac{-{a}^{2}-a-a（1-a）}{3}$=-$\frac{2}{3}$a，
x₂=$\frac{-{a}^{2}-a+a\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{3}$＞$\frac{-{a}^{2}-a+a\sqrt{{a}^{2}-2a+1}}{3}$=$\frac{-{a}^{2}-a+a（1-a）}{3}$=-$\frac{2}{3}$a²，
则正根必小于-$\frac{2}{3}$a，负根必大于-$\frac{2}{3}$a²．

点评 此题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，根与系数得关系，以及不等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．