Question

13．已知点P是抛物线y=x²上一点，过点M（0，2）作半径为$\sqrt{2}$的⊙M，
（1）过点P作⊙M的两条切线l₁、l₂，若l₁⊥l₂，求点P的坐标；
（2）若过点Q（2，4）的直线l与抛物线y=x²只有一个公共点时，求出点M与直线的距离．

Answer 1

分析 （1）易证点P、M和两个切点组成的四边形是正方形，从而PM=2，设P坐标为（t，t²），则t²+（t²-2）²=2²，求出t的值即可，进而得到点P的坐标；
（2）分两种情况进行讨论，①若直线l平行与y轴，②若直线l不平行与y轴，设直线l的解析式为y=kx+b，根据直线l与抛物线y=x²只有一个公共点求出k的值，进而根据点到直线的距离公式求出点M与直线的距离．

解答 解：（1）设两个切点分别为A、B，
如图所示：

∵MA⊥AP，MB⊥PB，且l₁⊥l₂，
∴四边形APBM是正方形，
∵AM=$\sqrt{2}$，
∴PM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{P}^{2}}$=2，
设设P坐标为（t，t²），则t²+（t²-2）²=2²，
解得t=0或t=$±\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为（0，0）、（$\sqrt{3}，3$）、（$-\sqrt{3}，3$）；
（2）①若直线l平行与y轴，直线l即x=2，此时点M与直线l的距离为2；
②若直线l不平行与y轴，
设直线l的解析式为y=kx+b，
∵直线l过（2，4）点，
∴4=2k+b，
∴b=4-2k，
∴直线l解析式为y=kx+4-2k，
∵直线l与抛物线y=x²只有一个公共点，
∴kx+4-2k=x²只有一个根，
∴k²-8k+16=0，
∴k=4，
∴直线l解析式为y=4x-4，
∴点M（0，2）与直线l的距离d=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{{6\sqrt{17}}}{17}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题的知识，解答本题的关键是求出PM的长为2，解答（2）问时注意垂直于x轴的直线不能漏解，此题难度一般．