Question

5．如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4cm，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转90°到△BDE的位置，则：
（1）点A运动的路径长为2πcm；
（2）点C运动的路径长为πcm；
（3）线段BC扫过的面积为πcm²；
（4）线段AB扫过的面积为4πcm²；
（5）线段AC扫过的面积为3πcm²；
（6）△ABC扫过的面积为（4π+2$\sqrt{3}$）cm²．

Answer 1

分析 （1）根据弧长公式求出$\widehat{AE}$即可；
（2）先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BC=$\frac{1}{2}$AB=2cm，再根据弧长公式求出$\widehat{CD}$即可；
（3）线段BC扫过的面积是以BC为半径的圆面积的$\frac{1}{4}$；
（4）线段AB扫过的面积是以AB为半径的圆面积的$\frac{1}{4}$；
（5）线段AC扫过的面积=AB扫过的扇形面积-BC扫过的扇形面积；
（6）△ABC扫过的面积=线段AB扫过的面积+三角形ABC的面积．

解答 解：（1）点A运动的路径长为：$\frac{90π×4}{180}$=2π（cm）；
（2）∵Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4cm，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2cm，
∴点C运动的路径长为：$\frac{90π×2}{180}$=π（cm）；
（3）线段BC扫过的面积为：$\frac{1}{4}$π×2²=π（cm²）；
（4）线段AB扫过的面积为：$\frac{1}{4}$π×4²=4π（cm²）；
（5）线段AC扫过的面积为：4π-π=3π（cm²）；
（6）∵Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4cm，
∴AC=AB•cosA=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∴△ABC扫过的面积为：4π+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=4π+2$\sqrt{3}$（cm²）．
故答案为2πcm，πcm，πcm²，4πcm²，3πcm²，（4π+2$\sqrt{3}$）cm²．

点评 本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，扇形的面积的计算，熟记性质与计算公式是解题的关键．