Question

16．已知△ABC中，AB=AC=8，∠B=30°，D为BC上中点，Rt△DNM中，∠MDN=30°，D为定点，DM、DN交AB、AC于E、F．
（1）证明：△BED∽△CDF∽△DEF．
（2）求△AEF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=30°，由∠MDN=30°，于是得到∠BED+∠BDE=∠BDE+∠FDC=150°，推出△BED∽△CDF，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，由于BD=CD，等量代换得到$\frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，于是证得△BED∽△EDF，即可得到结论；
（2）解：过D作DM⊥AB于M，DG⊥EF于G，DN⊥AC于N，由已知条件得到BM=$\sqrt{3}$DM=$\sqrt{3}×\sqrt{3}AM=3AM$，求得BM=6，AM=2，同理AN=2，由（1）证得△BED∽△CDF∽△DEF，通过△DME≌△DGE，同理△DGF≌△DNF，得到ME=GE，FG=FN，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC=8，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵∠MDN=30°，
∴∠BED+∠BDE=∠BDE+∠FDC=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，
∵D为BC上中点，
∴BD=CD，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，
∵∠B=∠EDF=30°，
∴△BED∽△EDF，
∴△BED∽△CDF∽△DEF；

（2）解：过D作DM⊥AB于M，DG⊥EF于G，DN⊥AC于N，
∴BM=$\sqrt{3}$DM=$\sqrt{3}×\sqrt{3}AM=3AM$，
∴BM=6，AM=2，
同理AN=2，
由（1）证得△BED∽△CDF∽△DEF，
∴∠BED=∠DEF，∠DFE=∠CFD，
在△DME与△DGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠DGE=90°}\\{∠BED=∠DEF}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△DGE，
同理△DGF≌△DNF，
∴ME=GE，FG=FN，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+GE+FG+AF=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，求三角形的周长，正确的周长辅助线是解题的关键．