Question

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x+2）²+4交x轴于点A、B，交y轴于点D，点C是抛物线的顶点，连接AC、BC，OB=1，点P、Q分别是线段AB、AC上的动点（点P不与A、B点重合）．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，连接AD与抛物线的对称轴交于点M，在x轴上方的抛物线上是否存在一点N，使以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在说明理由．
（3）如图2，若∠CPQ=∠CAB，是否存在点P使△CPQ为等腰三角形，并求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由OB=1可知B的坐标，代入y=a（x+2）²+4，根据待定系数法即可确定解析式；
（2）根据解析式求得D点的坐标和顶点坐标，进而确定直线AD的解析式，把顶点的横坐标代入求得M的坐标（-2，$\frac{12}{9}$），再把±$\frac{12}{9}$代入抛物线的解析式即可确定N的坐标；
（3）分三种情况分别谈论求得即可．

解答 解：（1）∵OB=1，
∴B（1，0），
代入y=a（x+2）²+4得，0=9a+4，
∴a=-$\frac{4}{9}$，
∴抛物线的函数关系式为y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4；
（2）令x=0，则y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4=-$\frac{4}{9}$×4+4=$\frac{20}{9}$，
∴D（0，$\frac{20}{9}$），
由y=a（x+2）²+4可知顶点C的坐标为（-2，4），
∵B（1，0），
∴A（-5，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{b=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{9}}\\{b=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$
∴直线AD的解析式为y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
把x=-2代入得y=$\frac{4}{9}$×（-2）+$\frac{20}{9}$=$\frac{12}{9}$，
∴M（-2，$\frac{12}{9}$），
把y=$\frac{12}{9}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4得，$\frac{12}{9}$=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
解得x=-2+$\sqrt{6}$或x=-2-$\sqrt{6}$，
∴N（-2+$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）或（-2-$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）；
把y=-$\frac{12}{9}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4得，-$\frac{12}{9}$=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
解得x=-2+2$\sqrt{3}$或x=-2-2$\sqrt{3}$，
∴N（-2+2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$）或（-2-2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$），
综上，N点的坐标为N（-2+$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）或（-2-$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）或（-2+2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$）或（-2-2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$）；
（3）存在点P使△CPQ为等腰三角形，
当CQ=PQ时，则∠CPQ=∠PCQ，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠CAB=∠PCQ，
∴PA=PC，
设P（x，0），
∴PC²=（x+2）²+4²=PA²=（-5-x）²，
∴x=-$\frac{5}{6}$，
∴P（-$\frac{5}{6}$，0）；
当CQ=PC时，则∠CPQ=∠CQP，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠CAB=∠CQP，
∴Q与A重合，
∴P与B重合，
∴P（1，0），
当PQ=PC时，则∠PCQ=∠CQP，
∵∠PCQ=∠CAB+∠APQ，∠APC=∠CPQ+∠APQ，∠CPQ=∠CAB，
∵∠PCQ=∠APC．
∴PA=AC，
∵AC=$\sqrt{（-5+2）^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PA=5，
∴P（0，0），
综上，P点的坐标为（-$\frac{5}{6}$，0）或（1，0）或（0，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及分类讨论思想的应用等．