Question

3．已知，如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，四边形DEGF为正方形，其中D，E在边AC，BC上，F，G在AB上，求正方形的边长．
（1）若将题中正方形改为矩形，DE=2DF，则矩形的边长为多少？（不需要计算结果，说说思路即可）
（2）若题中的三角形不是直角三角形，且AC=5，AB=11，BC=4$\sqrt{5}$，则正方形DEGF的边长为多少？

Answer 1

分析 作CN⊥AB于N，由四边形DEGF为正方形，可得CM⊥DE与求得AB、CN的值，还可证得△ABC∽△DEC，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得正方形的边长；（1）作CN⊥AB，交DE于点M，交AB于点N，根据DE∥AB，得到△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质得到比例式，进而列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到矩形的边长；
（2）如图1，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，根据勾股定理列方程AC²-AN²=BC²-BN²，即25-AN²=80-（11-AN）²，求得AN=3，然后再由勾股定理得到CN=4，最后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：如图1，作CN⊥AB于N，
∵四边形DEGF为正方形，
∴CM⊥DE，
由勾股定理可得：AB=5，
根据三角形的面积不变性可求得CH=$\frac{12}{5}$，
设DE=x，
∵DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{DE}{AB}$，
即　$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}=\frac{x}{5}$，
解得：x=$\frac{60}{37}$，
∴正方形的边长为：$\frac{60}{37}$；

（1）在图2中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{DE}{AB}$，
设DF为x，则 DE=2x，
∴$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{2x}{5}$，
∴x=$\frac{60}{49}$；
∴矩形的边长为：DF=$\frac{60}{49}$，DE=$\frac{120}{49}$；

（2）如图1，作CN⊥AB，交DE于点M，交AB于点N，
∴AC²-AN²=BC²-BN²，
即25-AN²=80-（11-AN）²，
解得：AN=3，
∴CN=4，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{DE}{AB}$，
设正方形边长为x，
∴$\frac{4-x}{4}=\frac{x}{11}$，
解得：x=$\frac{44}{15}$，
∴正方形DEGF的边长为$\frac{44}{15}$．

点评 此题综合考查了正方形、矩形、相似三角形的性质及勾股定理．要求学生掌握相似三角形的对应高之比等于相似比．