Question

11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为H，∠DBE=∠CBE，BD=BC，求证：FH•AC=FC²+FC•FH．

Answer 1

分析 根据已知条件得到BE垂直平分CD，求得CF=DF，由等腰三角形的性质得到∠3=∠4，由三角形的内角和推出∠1=∠4，于是得到∠AFD=∠DBC，由射影定理得：DF²=AF•HF，等量代换得到CF²=FH•FA=FH（AC-CF），于是得到结论．

解答 解：∵∠DBE=∠CBE，BD=BC，
∴BE垂直平分CD，
∴CF=DF，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠6，∠BHE=∠CEF=90°，
∴∠1=∠4，
∵∠AFD=∠3+∠4=2∠4，∠DBC=2∠1，
∴∠AFD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠HCB，
∴∠ADF=∠BHC=90°，
∵DH⊥AF，
由射影定理得：DF²=AF•HF，
∵DF=CF，
∴CF²=FH•FA=FH（AC-CF），
∴CF²=FH•AC-FH•CF，
∴FH•AC=FC²+FC•FH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．