Question

6．如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH的边AH，EF相切于点A，E．若⊙O的半径为4，则劣弧$\widehat{AE}$的长为3π．

Answer 1

分析 连接OA、OE，由切线的性质得出∠OAE=∠OEF=90°，求出正八边形的内角∠H=∠G=∠F=135°，由六边形内角和求出∠AOE的度数，再由弧长公式即可得出劣弧$\widehat{AE}$的长．

解答 解：连接OA、OE，如图所示：
∵⊙O与AH，EF相切于点A，E，
∴AH⊥OA，EF⊥OE，
∴∠OAE=∠OEF=90°，
∵在正八边形ABCDEFGH中，∠H=∠G=∠F=（8-2）×180°÷8=135°，
∴∠AOE=（6-2）×180°-90°-90°-3×135°=135°，
∴劣弧$\widehat{AE}$的长=$\frac{135×π×4}{180}$=3π；
故答案为：3π．

点评 本题考查了切线的性质、正多边形和圆的关系、多边形内角和定理、弧长公式；熟练掌握切线的性质和多边形内角和定理，通过作辅助线求出∠AOE是解决问题的关键．