Question

4．如图，正△ABC外切于⊙O，正方形DEFG内接于⊙O，若正△ABC的边长为6，求正方形的DEFG的边长．

Answer 1

分析 设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，则∠OMB=90°，∠OBM=30°，由正三角形的性质得出BM=$\frac{1}{2}$BC=3，求出OM=BM•tan30°=$\sqrt{3}$，得出OD=OE=$\sqrt{3}$，由正方形的性质得出△DOE是等腰直角三角形，得出DE=$\sqrt{2}$OD，即可得出结果．

解答 解：设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，如图所示：
则∠OMB=90°，∠OBM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴OM=BM•tan30°=$\sqrt{3}$，
∴OD=OE=$\sqrt{3}$，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
即正方形的DEFG的边长为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正方形的性质、正三角形的性质、正多边形与圆的关系；熟练掌握正三角形和正方形的性质，由题意求出正三角形内切圆的半径是解决问题的关键．