Question

11．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，2AC=BC，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到Rt△DEC，连接AD．
（1）求$\frac{AE}{AD}$的值；
（2）过点D作DF⊥BC交AB于点F，连接FE交AD于G，交DC于K，求$\frac{KG}{EF}$的值；
（3）tan∠DEF=$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出CD=AC，CE=BC，∠DCE=∠ACB=90°，由已知条件得出CE=BC=2AC=2CD，BD=CD，设CD=AC=x，则CE=BC=2x，AE=AC+CE=3x，由勾股定理得出AD=$\sqrt{2}$x，即可得出结果；
（2）证出DF∥AC，得出BF=AF，证出DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，得出AE=6DF，CE=4DF，由平行线分线段成比例定理得出$\frac{FG}{GE}=\frac{DF}{AE}=\frac{1}{6}$，$\frac{DK}{CK}$=$\frac{FK}{KE}=\frac{DF}{CE}=\frac{1}{4}$，得出$\frac{KG}{EF}=\frac{2}{35}$；
（3）作KM⊥DE于M，设DK=a，则CK=4a，CD=5a，CE=10a，由勾股定理得出DE=5$\sqrt{5}$a，KE²=CK²+CE²=116a²，由△DEK的面积=$\frac{1}{2}$DE•KM=$\frac{1}{2}$DK•CE，求出KM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，由勾股定理求出ME，再由三角函数即可得出结果．

解答 解：（1）由旋转的性质得：CD=AC，CE=BC，∠DCE=∠ACB=90°，
∵2AC=BC，
∴CE=BC=2AC=2CD，BD=CD，
设CD=AC=x，则CE=BC=2x，
∴AE=AC+CE=3x，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3x}{\sqrt{2}x}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵DF⊥BC，∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∵BD=CD，
∴BF=AF，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=6DF，CE=4DF，$\frac{FG}{GE}=\frac{DF}{AE}=\frac{1}{6}$，$\frac{DK}{CK}$=$\frac{FK}{KE}=\frac{DF}{CE}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{FG}{EF}=\frac{1}{7}$=$\frac{5}{35}$，$\frac{FK}{EF}=\frac{1}{5}$=$\frac{7}{35}$，
∴$\frac{KG}{EF}=\frac{2}{35}$；
（3）作KM⊥DE于M，如图所示；
则∠KME=90°，
设DK=a，则CK=4a，
∴CD=5a，CE=10a，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5$\sqrt{5}$a，KE²=CK²+CE²=116a²，
∵△DEK的面积=$\frac{1}{2}$DE•KM=$\frac{1}{2}$DK•CE，
∴5$\sqrt{5}$a•KM=a×10a，
解得：KM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴ME=$\sqrt{K{E}^{2}-K{M}^{2}}$=$\sqrt{116{a}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠DEF=$\frac{KM}{ME}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{12}$；
故答案为：$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理、比例的性质、三角形面积的计算方法、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线运用勾股定理和三角函数才能得出结果．