Question

16．已知二次函数y=4x²+bx+$\frac{1}{16}$（b²+b）当b取任何实数时，它的图象是一条抛物线．
（1）现在有如下两种说法：
①b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着完全相同的形状；
②b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着不相同的形状；你认为哪一种说法正确，为什么？
（2）若取b=-1，b=2时对应的抛物线的顶点分别为A、B，请你求出AB的解析式，并判断：当b取其它实数值时，所对应的抛物线的顶点是否在这条直线上？说明理由．
（3）在（2）中所确定的直线上有一点C且点C的纵坐标为-1，问在x轴上是否存在点D使△COD为等腰三角形？若存在直接写出点D坐标；若不存在，简单说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线的形状只与抛物线的二次项系数有关，显然①的说法是正确的；
（2）将b=-1、b=2分别代入抛物线的解析式中，用配方法求出两条抛物线的顶点坐标，也就得到了A、B点的坐标，从而利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出二次函数顶点坐标进而判断得出答案；
（3）根据（2）题得到的直线AB的解析式，可确定点C的坐标；由于△COD的腰和底不确定，分：①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三种情况讨论即可．

解答 解：（1）抛物线的开口方向和形状只与二次项系数有关，与一次项系数和常数项无关，
故①的说明是正确的．

（2）当b=-1时，y=4x²-x=4（x-$\frac{1}{8}$）²-$\frac{1}{16}$，
故A（$\frac{1}{8}$，-$\frac{1}{16}$）；
当b=2时，y=4x²+2x+$\frac{3}{8}$=4（x+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$，
故B（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则有：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}k+b=-\frac{1}{16}}\\{-\frac{1}{4}k+b=\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
故直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x，
二次函数，y=4x²+bx+$\frac{1}{16}$（b²+b）=4（x+$\frac{b}{8}$）²+$\frac{b}{16}$，
故二次函数的顶点坐标可以表示为：（-$\frac{b}{8}$，$\frac{b}{16}$），它们始终在直线y=-$\frac{1}{2}$x上；

（3）当y=-1时，-1=-$\frac{1}{2}$x，x=2，
故C（2，-1）；
可得OC=$\sqrt{5}$；
若△COD是等腰三角形，则有：
①OC=OD，则OD=$\sqrt{5}$；
∴D₁（-$\sqrt{5}$，0），D₂（$\sqrt{5}$，0）；
②OC=CD；
根据等腰三角形三线合一的性质知：C点位于OD的垂直平分线上，
故D₃（4，0）；
③OD=CD；
此时D位于OC的垂直平分线上，则∠OCD₄=∠OD₃C=∠COD₄，
则△OD₄C∽△OCD₃，得OC₂=OD₄•OD₃，
由于OC=$\sqrt{5}$，OD₃=4，
可求得OD₄=$\frac{5}{4}$，
故D₄（$\frac{5}{4}$，0）；
综上所述，存在4个符合条件的D点，它们的坐标为：D₁（-$\sqrt{5}$，0），D₂（$\sqrt{5}$，0），D₃（4，0），D₄（$\frac{5}{4}$，0）．

点评 此题考查了二次函数图象与系数的关系、函数解析式的确定、等腰三角形的构成情况等知识点；（3）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．