Question

7．已知：△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，O是AC中点，E是BC上一点，∠BCE=90°，连接BO交AD于F．
（1）如图1，当tan∠ACB=$\frac{1}{2}$时，试找出图中与CE相等的线段，并证明；
（2）如图2，若∠ACB=α，BO=m，求OE的长（用α，m表示）．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，由已知条件得到OC=$\frac{1}{2}$AC，由tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到AB=OC，推出△ABF≌△COE，即可得到结论；
（2）由（1）证得OC=$\frac{1}{2}$AC，∠C=∠BAF，∠COE=∠ABF，得到△OCE∽△ABF，证得$\frac{OC}{AB}=\frac{OE}{BF}$，根据三角函数的定义得到tan∠ACB=tanα=$\frac{AB}{AC}$，求出$\frac{1}{2tanα}$=$\frac{OE}{BF}$，过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，由△OEH∽△OFA，得到OF：OE=OA：OH，根据三角形的中位线的性质得到OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，推出OF=$\frac{OE}{tanα}$，然后列方程即可求出结论．

解答 解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∵O是AC边的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC，
∵tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴AB=OC，
在△ABF∽△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAB}\\{OC=AB}\\{∠COE=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△COE，
∴AF=CE；

（2）由（1）证得OC=$\frac{1}{2}$AC，
∠C=∠BAF，∠COE=∠ABF，
∴△OCE∽△ABF，
∴$\frac{OC}{AB}=\frac{OE}{BF}$，
∵∠ACB=α，
∴tan∠ACB=tanα=$\frac{AB}{AC}$，
∴AB=AC•tanα，
∴$\frac{OC}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}AC}{AC•tanα}$=$\frac{1}{2tanα}$=$\frac{OE}{BF}$，
过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
而$\frac{AB}{AC}$=tanα，
∴OH：OA=tanα，
∴OE：OF=tanα，
∴OF=$\frac{OE}{tanα}$，
∴OF+BF=$\frac{EO}{tanα}$+OE•2tanα=m，
∴OE=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，垂线的性质，三角形的中位线的性质，根据三角形的相似，列出关系式是解答的关键．