Question

19．已知，如图，EQ∥BC，AD交BC于D，交EQ于N，CG交EQ于M，交AD于F，连接GD、BF交EQ于点P．求证：PM=MQ．

Answer 1

分析 根据已知条件得到△AEN∽△ABD，△AQN∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{QN}{CD}=\frac{AN}{AD}$，$\frac{NE}{BD}=\frac{AN}{AD}$，等量代换得到$\frac{QN}{NE}=\frac{CD}{BD}$，同理$\frac{NM}{PN}=\frac{CD}{BD}$，由等式的性质得到$\frac{QN}{NE}=\frac{MN}{PN}$=$\frac{CD}{BD}$然后根据比例的性质即可得到结论．

解答 证明：∵EQ∥BC，
∴△AEN∽△ABD，△AQN∽△ACD，
∴$\frac{QN}{CD}=\frac{AN}{AD}$，$\frac{NE}{BD}=\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{QN}{CD}=\frac{NE}{BD}$，
∴$\frac{QN}{NE}=\frac{CD}{BD}$，
同理$\frac{NM}{PN}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{QN}{NE}=\frac{MN}{PN}$=$\frac{CD}{BD}$
同理$\frac{PM}{PE}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{NQ-NM}{EN-PN}=\frac{CD}{BD}$，
即$\frac{MQ}{PE}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{PM}{PE}=\frac{MQ}{PE}$，
∴PM=MQ．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．