Question

4．如图，矩形ABCD中，AB=3AD，E、F在AB上，且AE=EF=FB，AC交DF于G，连接EG．求证：EG⊥DF．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得CD=AB，CD∥AB，∠DAB=90°，设AD=a，则AB=3AD=CD=3a，AE=EF=BF=a，则在Rt△ADF中利用勾股定理可计算出DF=$\sqrt{5}$a，接着证明△AFG∽△CGD，利用相似比可得$\frac{GF}{DG}$=$\frac{2}{3}$，则GF=$\frac{2}{5}$DF=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$a，则可计算出$\frac{FG}{FA}$=$\frac{FE}{FD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，加上∠GFE=∠AFD，于是可判断△FGE∽△FAD，根据相似的性质得∠FGD=∠FAD=90°．

解答 证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB，CD∥AB，∠DAB=90°，
设AD=a，则AB=3AD=CD=3a，AE=EF=BF=a，
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵AF∥CD，
∴△AFG∽△CGD，
∴$\frac{GF}{DG}$=$\frac{AF}{CD}$=$\frac{2a}{3a}$=$\frac{2}{3}$，
∴GF=$\frac{2}{5}$DF=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$a，
∵$\frac{FG}{FA}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}a}{5}}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{FE}{FD}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{FG}{FA}$=$\frac{FE}{FD}$，
而∠GFE=∠AFD，
∴△FGE∽△FAD，
∴∠FGD=∠FAD=90°，
∴EG⊥DF．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；利用三角形相似的性质计算有关线段的长．也考查了矩形的性质．