Question

17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点G，过点A，B分别向弦CD作垂线，垂足分别为F、E
（I）求证：CE=DF；
（2）若CF=BE，CE：EG=2：3，AG=5，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）过O作OP⊥CD于P，由垂径定理得到CP=DP，根据平行线等分线段定理得到EP=FP，即可得到结论；
（2）延长AF交⊙O于N，连接BN，延长PO交BN于M，过O作OQ⊥AN于Q，连接CN，AD，由矩形的性质得到NF=BE，根据圆周角定理得到∠NCD=∠ADC=45°，求得CD=AN，得到AF=DF，设CE=DF=AF=2k，EG=3k，GF=y，通过△AGF∽△AOQ，得到$\frac{AF}{AQ}=\frac{GF}{OQ}$，解得k=y，k=-$\frac{1}{6}$y（舍去），然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，过O作OP⊥CD于P，
∵AB是⊙O的直径，
∴CP=DP，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，
∴BE∥OP∥AF，
∵AO=BO，
∴EP=FP，
∴CP-EP=DP-PF，
即CE=DF；

（2）如图2，延长AF交⊙O于N，连接BN，延长PO交BN于M，过O作OQ⊥AN于Q，连接CN，AD，
则四边形EBNF是矩形，
∴NF=BE，
∵BE=CF，
∴CF=NF，
∴∠NCD=∠ADC=45°，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AN}$，
∴CD=AN，
∴AF=DF，
∵CE：EG=2：3，
设CE=DF=AF=2k，EG=3k，GF=y，
∴OP=PF=$\frac{3k+y}{2}$，
∵GF∥OQ，
∴△AGF∽△AOQ，
∴$\frac{AF}{AQ}=\frac{GF}{OQ}$，
即$\frac{2k}{\frac{7k+y}{2}}=\frac{y}{\frac{3k+y}{2}}$，
解得k=y，k=-$\frac{1}{6}$y（舍去），
∴GF=k，AF=2k，
∴AG²=GF²+FA²，
∴25=k²+4k²，
解得：k=$\sqrt{5}$，∴EG=3$\sqrt{5}$，BE=6$\sqrt{5}$，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}+E{G}^{2}}$=20．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．