Question

8．已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线AC、BD交于点O，且A0、B0的长分别是关于x的方程x²+（2m-1）x+m²+3=0的两根．
（1）求m的值．
（2）求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO²+BO²=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=-2m+1，AO•BO=m²+3；代入AO²+BO²中，得到关于m的方程后，求得m的值；
（2）将m的值代入方程求得OA、OB的值，最后根据菱形的面积=△AOB面积的4倍求解即可．

解答 解：（1）由直角三角形的三边关系可得：AO²+BO²=25，由根与系数的关系可得：AO+BO=-2m+1，AO•BO=m²+3，
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO•BO=（-2m+1）²-2（m²+3）=25，整理得：m²-2m-15=0，解得：m=-3或5．
又∵△＞0，
∴（2m-1）²-4（m²+3）＞0，
解得m＜-$\frac{11}{4}$，
∴m=-3．
（2）将m的值代入方程得；x²-7x+12=0．
解得x₁=3，x₂=4．
∴菱形ABCD的面积=4×$\frac{1}{2}OA•OB$=4×$\frac{1}{2}×3×4$=24．

点评 本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理、根与系数的关系的综合应用，由AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO•BO列出关于m的方程是解题的关键．