Question

13．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，（2）中的结论还成立吗？若AB=4，求此时BE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM=2BD×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，因为BE+CF=BE+NF-CN=BE+DM-BM=BE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD-$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，把AB=4，BD=2代入即可得到BE+$\sqrt{3}$-1=2$\sqrt{3}$，从而求得BE=$\sqrt{3}$+1．

解答 解：（1）如图1，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，
∴∠AED=360°-60°-90°-120°=90°，
∴∠BED=90°，
∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1；

（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMD=∠CND}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△MBD≌△NCD，
∴BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠FND}\\{DM=DN}\\{∠MDE=∠NDF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△FND，
∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN
=2BM=2BD×cos60°=BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB；

（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．
同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．
同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．
∵DN=FN，
∴DM=DN=FN=EM，
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM=2BD×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴（2）中的结论不成立；
∵AB=4，
∴BD=2，
∵BE+CF=BE+NF-CN=BE+DM-BM=BE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD-$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴BE+$\sqrt{3}$-1=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．