Question

18．如图所示，⊙O₁和⊙O₂为两个等圆，O₁A∥O₂D，O₁O₂与AD相交于点E，AD与⊙O₁和⊙O₂分别交于点B，C，求证：AB=CD．

Answer 1

分析 分别过O₁，O₂作O₁G⊥AB，O₂H⊥CD垂足分别为G，H，由已知条件易证∴△O₁GE≌△O₂HE（AAS），所以O₁G=O₂H，进而可证明：AB=CD（同圆或等圆中，相等的弦心距所对的弦相等）．

解答 证明：分别过O₁，O₂作O₁G⊥AB，O₂H⊥CD垂足分别为G，H，
∴∠O₁GE=∠O₂HE=90°，
∵O₁A∥O₂D，
∴∠A=∠D，
在△O₁AE和△O₂DE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠{O}_{1}EA=∠{O}_{2}ED}\\{{O}_{1}A={O}_{2}D}\end{array}\right.$，
∴△O₁AE≌△O₂DE（AAS），
∴O₁E=O₂E，
在△O₁GE和△O₂HE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{O}_{1}EG=∠{O}_{2}EH}\\{∠{O}_{1}GE=∠{O}_{2}HE=90°}\\{{O}_{1}E={O}_{2}E}\end{array}\right.$，
∴△O₁GE≌△O₂HE（AAS），
∴O₁G=O₂H，
∴AB=CD（同圆或等圆中，相等的弦心距所对的弦相等）．

点评 本题考查了圆与圆的位置关系，全等三角形的判断和性质以及圆心定理，题目的综合性较强，难度不大，是中考常见题型．