Question

6．在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′．连接C′C并延长交B′B于点D．
（1）求证：∠BCD=∠B′C′D′；
（2）求证：BD=B′D．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得出AC=AC'，得出∠ACC'=∠AC'C，因为∠AC'C+∠B'C'D=90°，∠ACC'+∠BCD=90°，即可证得∠BCD=∠B'C'D；
（2）根据旋转的性质得出∠B′AC'=∠BAC，进而得出∠CAC'=∠BAB′，根据等边对等角得出∠AC'C=∠ACC'=∠AB'B=∠ABB'，从而证得A，C'，B'，D四点共圆，得出AB′是直径，根据圆周角定理得出∠ADB′=90°，然后根据等腰三角形三线合一的性质，即可证得结论．

解答 （1）证明：∵∠AC'B'=∠ACB=90°，AC=AC'，
∴∠ACC'=∠AC'C，
∵∠AC'C+∠B'C'D=90°，∠ACC'+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠B'C'D；
（2）证明：连接AD，
∵∠B′AC'=∠BAC，
∴∠CAC'=∠BAB′，
∵AC=AC'，AB=AB′，
∴∠AC'C=∠ACC'=∠AB'B=∠ABB'，
∴A，C'，B'，D四点共圆，
∵∠AC′B′=90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠ADB′=90°，
∵AB=AB'，
∴BD'=BD．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，作出辅助线证得AD⊥BB′是解题的关键．