Question

8．如图所示，将两个正方形ABCD和正方形CGEF如图所示放置，连接DE、BG．
（1）图中∠DCE+∠BCG=180°；
（2）设△DCE的面积为s₁，△BCG的面积为s₂，则s₁与s₂的数量关系为S₁=S₂；
猜想论证：
如图2所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE、BG，设△DCE的面积为s₁，△BCG的面积为s₂，猜想s₁和s₂的数量关系，并加以证明？
如图3所示，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点△P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长？

Answer 1

分析 （1）结论∠BCG+∠DCE=180根据周角的定义即可证明．
（2）过点E作EM⊥DC于M点，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于N点，先证明△CME≌△CNG求得EM=GN，然后根据三角形的面积公式即可证得；
猜想论证：①过点E作EM⊥DC于M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N，根据旋转的性质得出CE=CB，CG=CD，进而得出∠1=∠3，从而得出△CME≌△CNB，通过全等得出EM=BN，然后根据三角形的面积公式即可证得；
②先根据AD∥CE得出∠DAC=∠ACE=30°，进而得出∠BAD=90°，DM=$\frac{1}{2}$AD，BN⊥EC，然后通过解直角三角函数求得AD，从而得出DM，最后根据三角形面积公式和已知条件得出PN=DM，即可求得CP的长；

解答 （1）解：如图1中，∵四边形ABCD、EFGC都是正方形，
∴∠BCD=∠ECG=90°，
∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°，
∴∠BCG+∠ECD=180°，
故答案为180°
（2）证明：如图1，过点E作EM⊥DC于M点，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于N点，
∴∠EMC=∠N=90°，
∵四边形ABCD和四边形ECGF为正方形，
∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°，CB=CD，CE=CG，
∴∠1=90°-∠2，∠3=90°-∠2，
∴∠1=∠3．
在△CME和△CNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠GNC}\\{∠1=∠3}\\{EC=CG}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△CNG（ASA）．
∴EM=GN．
又∵S₁=$\frac{1}{2}$CD•EM，S₂=$\frac{1}{2}$CB•GN，
∴S₁=S₂；
故答案为S₁=S₂．

猜想论证：①猜想：S₁=S₂，
证明：如图2，过点E作EM⊥DC于M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N，
∴∠EMC=∠N=90°，
∵矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的，
∴CE=CB，CG=CD，
∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°，
∴∠1=90°-∠2，∠3=90°-∠2，∴∠1=∠3．
在△CME和△CNB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠BNC}\\{∠1=∠3}\\{EC=CG}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△CNB（ASA）．
∴EM=BN．   
又∵S₁=$\frac{1}{2}$CD•EM，S₂=$\frac{1}{2}$CG•BN，
∴S₁=S₂； 


②CP=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$cm或$\frac{20}{3}$$\sqrt{3}$ cm．
理由：如图3，作DM⊥AC于M，延长BA，交EC于N，
∵AB=AC=10cm，∠B=30°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠BAC=120°，
根据对折的性质，∠ACE=∠ACB=30°，
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ACE=30°，
∴∠BAD=90°，DM=$\frac{1}{2}$AD，
∴BN⊥EC，
∵AD=tan∠ABD•AB，AB=10cm，
∴AD=tan30°×10=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PN，S_△ADC=$\frac{1}{2}$AC•DM，S_△ABP=S_△ADC，AB=AC，
∴PN=DM=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
在RT△ANC中∠ACN=30°，AC=10cm，
∴NC=cos∠ACN•AC=cos30°×10=5 $\sqrt{3}$，
∵在EC上到N的距离等于 $\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$的点有两个，
∴P′C=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$cm，P^″C=$\frac{20}{3}$$\sqrt{3}$cm，
∴CP的长为：$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$cm或 $\frac{20}{3}$$\sqrt{3}$cm．

点评 本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角函数的应用等，找出两个三角形的高的关系是本题的关键，属于中考压轴题．