Question

20．已知，如图，△ABC中，AB=AC，BD，CE为△ABC的高，且BD，CE交于点O．
（1）图中共有几个等腰三角形？分别是哪些三角形？
（2）其中△ODE是等腰三角形吗？若是，请说明理由；
（3）若∠A=45°，还有哪些三角形也是等腰三角形？OE与DC会相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的判定定理判断即可；
（2）由AB=AC，得到∠ABC=∠ACB，由于BD，CE为△ABC的高，于是得到∠BEC=∠CDB=90°，证得BO=CO，推出△EBC≌△DCB，证得BD=EC，根据线段的和差即可得到结果；
（3）根据等腰直角三角形的判定定理就可得到△ABD，△ACE，△BEO，△DCO也是等腰三角形，由于∠A=45°，BD，CE为△ABC的高，得到△BEO，△DCO是等腰三角形，即可得到结论．

解答 解：（1）图中有四个等腰三角形，分别是△ABC，△BOC，△AED，△OED；

（2）△OED是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE为△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∴∠ECB=∠DBC，
∴BO=CO，
在△EBC与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ACB}\\{∠BEC=∠CDB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB，
∴BD=EC，
∴OD=BD-OB，OE=CE-OC，
∴OE=OD，
∴△OED是等腰三角形；

（3）若∠A=45°，△ABD，△ACE，△BEO，△DCO也是等腰三角形，OE=DC，理由如下：
∵∠A=45°，BD，CE为△ABC的高，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BOE=∠DOC=45°，
∴BE=OE，OD=CD，
∵OE=OD，
∴OE=CD．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．