Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC=4$\sqrt{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（1）求BC的长；
（2）作以AC为直径的⊙O，使⊙O交线段AB于点D，交线段BC于点E，并求点D到BC的距离（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，如图1，根据等腰三角形的性质得BH=HC，在Rt△ACH中，利用∠C的正弦可计算出AH，然后根据勾股定理计算出CH，再利用BC=2CH求解；
（2）作AC的垂直平分线得到点O，再以AC为直径作⊙0，如图2，过点D作DH⊥BC于H，连结CE，根据等腰三角形的性质得∠B=∠ACB，再根据圆周角定理得∠AEC=90°，则可在Rt△BCD中利用正弦可计算出CD═$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，利用勾股定理计算出BD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，然后在Rt△BHD中，根据∠B的正弦可计算出DH．

解答 解：（1）作AH⊥BC于H，如图1，
∵AB=AC，
∴BH=HC，
在Rt△ACH中，∵sinC=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×4$\sqrt{5}$=8，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=4，
∴BC=2CH=8；
（2）如图2，DH⊥BC于H，连结CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△BCD中，∵sinB=$\frac{CD}{BC}$，
∴CD=8×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BHD中，∵sinB=$\frac{DH}{BD}$，
∴DH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{16}{5}$，
即点D到BC的距离为$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．