Question

5．已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{13}$
• B． 1+3$\sqrt{5}$
• C． 3+$\sqrt{37}$
• D． $\sqrt{85}$

Answer 1

分析 作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′=BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN=AB′．

解答 解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，
连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，
则MN∥BB′且MN=BB′，
于是MNBB′为平行四边形，故MB′=BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．


∵AB=10千米，BC=1+3+4=8千米，
∴在RT△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
在RT△AB′C中，B′C=1+3=4千米，
∴AB′=${\sqrt{A{C}^{2}+B′C}}^{2}$=2$\sqrt{13}$千米；
故选A．

点评 本题考查了轴对称---最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．