Question

6．如图，正五边形ABCDE中．
（1）AC与BE相交于点P，求证：AB²=AP•AC；
（2）已知AC=2，求AB的长；
（3）点M，N分别在边AE，ED上，EN=ND，BM∥CN，求$\frac{ME}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△APB∽△ABC，可得$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，由此即可解决问题；
（2）由（1）可知，∠CBP=∠CPB=72°，推出AB=BC=PC，设AB=BC=PC=x，则有x²=2（2-x），解方程即可；
（3）如图3中，延长BE交CN的延长线于F，延长CE交BM的延长线于G．易知BE=CE=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$AB，设AB=a，则BE=CE=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a．由CD∥BF，AB∥CG，推出$\frac{DC}{EF}$=$\frac{DN}{NE}$=1，推出EF=CD=a，推出$\frac{ME}{AM}$=$\frac{EG}{AB}$，由CF∥BG，可得$\frac{EG}{EC}$=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，推出$\frac{EG}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}AB}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，推出$\frac{EG}{AB}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵ABCDE是正五边形，
∴AE=AB=BC，∠BAE=∠ABC=108°，
∴∠ABE=∠AEB=∠ACB=∠BAC=36°，
∵∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ACB，
∴△APB∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AB²=AP•AC．

（2）解：如图1中，
由（1）可知，∠CBP=∠CPB=72°，
∴AB=BC=PC，设AB=BC=PC=x，
则有x²=2（2-x），
解得x=$\sqrt{5}$-1或-$\sqrt{5}$-1（舍弃），
∴AB=$\sqrt{5}$-1．

（3）解：如图3中，延长BE交CN的延长线于F，延长CE交BM的延长线于G．

易知BE=CE=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$AB，设AB=a，则BE=CE=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a．
∵CD∥BF，AB∥CG，
∴$\frac{DC}{EF}$=$\frac{DN}{NE}$=1，
∴EF=CD=a，
∴$\frac{ME}{AM}$=$\frac{EG}{AB}$，
∵CF∥BG，
∴$\frac{EG}{EC}$=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{EG}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}AB}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{EG}{AB}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{ME}{AM}$=$\frac{EG}{AB}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．