Question

7．已知x₁，x₂是方程x²-x-9=0的两实数根，求x₁³+7x₂²+3x₂-66的值．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程的解的定义得到x₁²=x₁+9，x₂²=x₂+9再计算x₁³=x₁²+9x₁=10x₁+9，7x₂²=7x₂+63则原式可化简为10（x₁+x₂）+6，然后利用根与系数的关系求解．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-x-9=0的两实数根，
∴x₁²=x₁+9，x₂²=x₂+9，x₁+x₂=1，
∴x₁³=x₁²+9x₁=10x₁+9，7x₂²=7x₂+63，
则原式=10（x₁+x₂）+6=16．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解的定义．