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(2012•萧山区一模)已知在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线y=
m
x
相交于点C、D,且点D的坐标为(1,6).
(1)如图1,当点C的横坐标为2时,求点C的坐标和
CD
AB
的值;
(2)如图2,当点A落在x轴负半轴时,过点C作x轴的垂线,垂足为E,过点D作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等,并说明理由;
②当
CD
AB
=2
时,求点C的坐标和tan∠OAB的值;
(3)若tan∠OAB=
1
7
,请直接写出
CD
AB
的值(不必书写解题过程)
分析:(1)由点D(1,6)在反比例函数y=
m
x
的图象上可求出m的值,进而得出反比例函数的解析式,再由点C的横坐标为2即可得出其纵坐标,故可得出C点坐标;再算出一次函数解析式,进而得到A、B点坐标,然后可算出
CD
AB
的值;
(2)①设C(a,b),则ab=6,由S△EFC=
1
2
|ab|=3,S△EFD=
1
2
×1×6=3,可得△EFC的面积和△EFD的面积相等;
②先证明四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形,故可得出CE=BF,∠FDB=∠EAC,再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC,故AC=BD,设CD=2k,AB=k,DB=
k
2

可得
DB
AB
=
1
2
,再证明△DFB∽△AOB,可算出OA=2,OB=4,进而得到tan∠OAB=
BO
AO
=2.
(3)根据1.2两图,要分两种情况,一是k=
1
7
,二是k=-
1
7
解答:解:(1)∵D(1,6)在y=
m
x
上,
∴m=6,即双曲线解析式是 y=
6
x

当C点横坐标为2时,纵坐标为3,
∴C(2,3).
直线AB过点C(2,3),D(1,6),得
2k+b=3
k+b=6

解得:
k=-3
b=9

故直线AB的解析式为y=-3x+9.
∴B(0,9),A(3,0),
∴AB=3
10

∵C(2,3),D(1,6),
∴CD=
10

CD
AB
=
1
3


(2)①设C(a,b),则ab=6,
∵S△EFC=
1
2
(-a)(-b)=
1
2
ab=3,而S△EFD=
1
2
×1×6=3,
∴S△EFC=S△EFD
②∵S△EFC=S△EFD,且两三角形同底,
∴两三角形的高相同,
∴EF∥CD,
∵DF∥AE,BF∥CE,
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形,
∴CE=BF,∠FDB=∠EAC,
在△DFB与△AEC中,
∠DFB=∠AEC
CE=BF
∠FDB=∠EAC

∴△DFB≌△AEC,
∴AC=BD,
CD
AB
=2,设CD=2k,AB=k,DB=
k
2

DB
AB
=
1
2

∵∠DFB=∠AOB,∠DBF=ABO,
∴△DFB∽△AOB,
DF
AO
=
DB
AB
=
BF
BO
=
1
2

∵DF=1,
∴OA=2,
∵OF=6,
∴OB=4,
∴tan∠OAB=
BO
AO
=2.
∵OA=2,OB=4,
∴A(-2,0),B(0,4),
∴直线AB的解析式为y=2x+4,
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得
y=2x+4
y=
6
x

解得:
x=-3
y=-2
x=1
y=6

∴C(-3,-2).


(3)如图2,直线与双曲线过D点(1,6),带入双曲线方程6=
m
1

解得:m=6,
带入直线方程,6=k+b,b=6-k,
所以直线方程变为y=kx+6-k,
∵tan∠OAB=
1
7

∴直线方程的斜率为
1
7
,即k=
1
7

∴b=
41
7

∴直线方程为y=
1
7
x+
41
7

∴A的坐标为(-41,0),B(0,
41
7
),
再将直线方程带入双曲线方程有
6
x
=
1
7
x+
41
7
,解得x=1或-42,
当x=-42,y=-
1
7

过C做平行于x轴的直线,过D做平行于y的直线,两直线相交与M,
∴△AOB∽△CMD,
CD
AB
=
CM
AO

CM=1-(-42)=43,AO=41,所以
CD
AB
=
43
41

如图1:∵tan∠OAB=
1
7

∴直线方程的斜率为
1
7
,即k=-
1
7

∴b=
43
7

∴直线方程为y=-
1
7
x+
43
7

∴A的坐标为(43,0),B(0,
43
7
),
再将直线方程带入双曲线方程有
6
x
=-
1
7
x+
43
7
,解得x=1或42,
当x=42,y=
1
7

∵△AOB∽△CPD,
CD
AB
=
CP
AO

CP=42-1=41,AO=43,
CD
AB
=
41
43

综上所述:
CD
AB
的值为
43
41
41
43
点评:本题考查了反比例函数的综合运用,涉及待定系数法求函数解析式,同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质,三角函数定义,题目综合性较强.
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