Question

【题目】如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有____________（多选、错选不得分）.

①∠A+∠B=90°；②；③；④

Answer 1

【答案】①②④

【解析】根据三角形内角和是180°、勾股定理、余弦函数、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意即可．

解：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，

∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，

∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．

②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．

③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；

④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，

又∵CD2=AD?BD，（即=）

∴△ACD∽△CBD

∴∠ACD=∠B

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°

△ABC是直角三角形

∴故选项④正确；

故正确的结论为①②④．

本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可．