Question

如图，已知直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax²-2ax+c过点C且与直线y=2x+2交于点A（5，12）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）D为x轴上方抛物线上一点，若△DCO与△DBO的面积相等，求D点的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点P，过P作x轴的垂线交抛物线于E点，使得以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由直线y=2x+2知：点C（-1，0）、B（0，2）；
抛物线y=ax²-2ax+c过点C（-1，0）、A（5，12），有：
，解得
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）由（1）知：OB=2、OC=1；
由题意知：S_△DBO=S_△DCO，则：
×BO×|x_D|=×CO×|y_D|，即：|y_D|=2|x_D|
∴可以设点D的坐标为：（x，2x）或（x，-2x）（x＜-1或x＞3），代入抛物线的解析式中，有：
当点D坐标为（x，2x）时，有：x²-2x-3=2x；解得：x₁=2-（舍），x₂=2+；
当点D坐标为（x，-2x）时，有：x²-2x-3=-2x；解得：x₃=（舍），x₄=-；
∴点D的坐标为：（2+，4+2）或（-，2）．

（3）∵PE⊥x轴，且BO⊥CO，
∴PE∥BO，即∠CBO=∠BPE；
若以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，那么：
①PB⊥BE，如图①；
由于直线BE与直线AC垂直，且过点B（0，2），所以：
直线BE：y=-x+2；
联立抛物线的解析式，有：
-x+2=x²-2x-3，解得：x₁=、x₂=（舍）；
将点P横坐标代入直线AC：y=2x+2中，得：y=；
∴P₁（，）．
②PE⊥BE，如图②；
∵PE∥y轴，且PE⊥BE，
∴BE∥x轴，即 点B、E的纵坐标相同；
令x²-2x-3=2，解得：x₁=1-（舍）、x₂=1+；
将点P横坐标代入直线AC：y=2x+2中，得：y=4+2；
∴P₂（1+，4+2）．
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（，）或（1+，4+2）．
分析：（1）首先由直线AC的解析式确定点C的坐标，在已知点A坐标的情况下，利用待定系数法可确定抛物线的解析式．
（2）点B、C的坐标易知，那么OB、OC的倍数关系不难求出，那么在△DCO、△DBO中，分别以CO、BO为底进行讨论，若两三角形的面积相等，可确定点D到x轴、y轴距离的比例关系（或边CO、边OB上的高的比例关系），首先根据这个关系设出点D的坐标，再代入（1）的抛物线中即可确定该点的坐标．
（3）由于PE⊥x轴，即PE∥OB，显然有∠BPE=∠CBO，若“以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似”，只需在△BPE中找出一个直角即可，那么分两种情况讨论：
①PB⊥BE，此时直线BE、直线AC的斜率乘积为-1，先确定直线BE的解析式，联立抛物线的解析式后可确定点P的坐标；
②PE⊥BE，由于PE⊥x轴，那么必有BE∥x轴，因此只需将点B的纵坐标代入抛物线的解析式中，进一步可确定点P的坐标；
另外，需要注意的是点P在线段AB上，求出结果后不要忘记根据这个条件对值进行取舍．
点评：该题涉及到利用待定系数法确定函数解析式、三角形面积的解法、函数图象交点坐标的求法以及相似三角形的判定和性质等重点知识；（2）题中，能够由三角形的面积相等得出点D横纵坐标的倍数关系是突破题目的关键；（3）题容易漏解，要注意根据不同情况分类讨论．