Question

1．如图，∠BAC=60°，O是∠BAC平分线上的一点，点E、F分别在AB、AC上，若∠EOF=120°，AO=6．求AE+AF的长．

Answer 1

分析 作OP⊥AB于P，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OP=OH，根据三角形全等的判定定理证明△OEP≌△OFH，得到EP=FH，根据直角三角形的性质和勾股定理求出AP，计算即可．

解答 解：作OP⊥AB于P，OH⊥AC于H，
∵O是∠BAC平分线上的一点，OP⊥AB，OH⊥AC，
∴OP=OH，AP=AH，
∵∠BAC=60°，∠EOF=120°，
∴∠OEA+∠OFA=180°，又∠OFH+∠OFA=180°，
∴∠OEA=∠OFH，
在△OEP和△OFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEP=∠OFH}\\{∠OPE=∠OHF}\\{OP=OH}\end{array}\right.$，
∴△OEP≌△OFH，
∴EP=FH，
∵∠BAC=60°，O是∠BAC平分线上的一点，
∴∠BAO=30°，
∴OP=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴AP=$\sqrt{A{O}^{2}-O{P}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AE+AF=AP+PE+AH-FH=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．