Question

如图，已知直线y=

3

4

x+3与双曲线y=

k

x

相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于D、C两点，若CD=3，则k=

-

48

25

．

Answer 1

分析：联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：过D作DF⊥x轴，CE⊥y轴，两垂线交于M点，如图所示，
联立两函数解析式得：

y= 3 4 x+3 y= k x

，
消去y得：3x²+12x-4k=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有y₁-y₂=

3

4

（x₁-x₂），
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=-

4k

3

，
在Rt△CDM中，根据勾股定理得：CD²=CM²+DM²，
即9=（y₁-y₂）²+（x₁-x₂）²=

25

16

（x₁-x₂）²=

25

16

[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

25

16

×（16+

16k

3

）=25+

25

3

k，
解得：k=-

48

25

．
故答案为：-

48

25

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．