Question

13．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，∠CAB=30°
（1）如图①，求∠DAC的大小；
（2）如图②，若⊙O的半径为4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图①，根据切线的性质得OC⊥DC，而AD⊥DC，则可判断AD∥OC，根据平行线的性质得∠DAC=∠ACO，加上∠OCA=∠CAB=30°，所以∠DAC=30°，
（2）连OE，OC，如图②，根据圆周角定理得到∠EOC=2∠DAC=60°，于是可判断△OEC为等边三角形，则EC=OE=4，∠OCE=60°，所以∠DCE=30°，于是根据含30度的直角三角形三边的关系可得DE=$\frac{1}{2}$CE=2．

解答 解：（1）连接OC，如图①，
∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DC，
又∵AD⊥DC，
∴AD∥OC
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=30°，
∴∠DAC=30°；
（2）连OE，OC，如图②，
∵∠EOC=2∠DAC=60°，
∴△OEC为等边三角形，
∴EC=OE=4，∠OCE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CE=2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．