Question

如图1所示，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，∠B＜∠C，F为AD上一点，且FD⊥BC于D．
（1）试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系．
（2）如图2所示，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，在（1）中推导的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AEC，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解；
（2）与（1）的求解过程完全相同．

解答：解：（1）∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）．
理由如下：∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
在△ABE中，∠AEC=∠BAE+∠B=

1

2

（180°-∠B-∠C）+∠B=90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C，
∵FD⊥BC，
∴∠EFD=90°-（90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C）=

1

2

（∠C-∠B）；

（2）仍然成立．
又（1）知∠DEF=∠AEC=90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C，
∴∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．