Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C，M为此抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．

①直接写出点P所经过的路线长为　 　；

②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最小值；

（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF＝AC，求直线MN的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+4；（2）①；②；（3）y＝x+

【解析】

（1）将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；
（2）①易得点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2，只需运用勾股定理求出BC长，然后运用三角形中位线定理就可解决问题；②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=PA=PD=PF，由此可得点A、E、D、F在以点P为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得∠EPF=2∠EAF．易得∠EAF=45°，则有∠EPF=90°，根据勾股定理可得，根据“点到直线之间垂线段最短”可得当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，然后只需运用面积法求出此时AD的值，即可得到EF的最小值；
（3）运用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=x+4，由EF=AC可得MN∥AC，从而可设直线MN的解析式为y=x+t，然后只需求出抛物线的顶点M的坐标，把点M的坐标代入y=x+t即可解决问题．

解：（1）∵抛物线 与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；

（2）①在Rt△BOC中，

．

∵点D是线段BC一点，P是线段AD的中点，

∴点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2，如图1，

则．

故答案为：；

②如图2，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，

∴PE＝PA＝PD＝PF，

∴点A、E、D、F在以点P为圆心，为半径的圆上，

∴∠EPF＝2∠EAF．

∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，

∴∠CAO＝∠ACO＝45°，

∴∠EPF＝90°，

∴．

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：

当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，

此时，，

解得：，

此时，

则EF的最小值为；

（3）如图3，

设直线AC的解析式为y＝mx+n，

则有 ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y＝x+4．

由EF＝AC可得MN∥AC．

可设直线MN的解析式为y＝x+t．

∵点M是抛物线的顶点，

∴点M的坐标为（﹣1， ），

把M（﹣1，）代入y＝x+t，得

﹣1+t＝，

解得t＝，

∴直线MN的解析式为y＝x+．