Question

【题目】设二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0），且2a+b＝3．

（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；

（2）y1的图象始终经过一个定点，若一次函数y2＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，a满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在函数y1的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x2﹣3x﹣2；（2）k＝2a﹣5；（3）x0<．

【解析】

（1）将点（﹣1，4），即可求该二次函数的表达式

（2）将2a+b＝3代入二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0）中，整理得y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2，可知恒过点（1，2），代入一次函数y2＝kx+b（k为常数，k≠0）即可求实数k，a满足的关系式

（3）通过y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，可求得对称轴为x＝﹣，因为x0＜1，且m＞n，所以只需判断对称轴的位置即可求x0的取值范围

解：（1）∵函数y1＝ax2+bx+a﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a+b＝3

∴，

∴，

∴函数y1的表达式为y＝3x2﹣3x﹣2；

（2）∵2a+b＝3

∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，

整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2

∴当x＝1时，y1＝﹣2，

∴y1恒过点（1，﹣2）

∴代入y2＝kx+b得

∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5

∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5

（3）

∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5

∴对称轴为x＝﹣，

∵x0＜1，且m＞n

∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，

当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）

故x0的取值范围为：