Question

6．长为4的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交射线CD于点E．
（1）求证：DF=EF；
（2）在点P的运动过程中，若△PEC为等腰三角形，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）延长FP交AB于G，根据正方形的性质和已知推出矩形AGFD，得到DF=AG，证∠GBP=∠FPE，推出Rt△GBP≌Rt△FPE，推出EF=PG，根据等腰三角形的性质求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：延长FP交AB于G，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°（正方形的四个内角都是直角）
∵PF⊥CD，
∴∠DFG=90°，
∴四边形AGFD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴DF=AG，∠AGF=90°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=45°，
∴△AGP是等腰直角三角形，即AG=GP，
∴GP=DF，
同理CF=PF=BG，
∵∠GPB+∠FPE=90°，∠GPB+∠GBP=90°，
∴∠GBP=∠FPE，
在Rt△GBP和Rt△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GBP=∠FPE}&{\;}\\{BG=PF}&{\;}\\{∠BGP=∠PFE}&{\;}\end{array}\right.$
∴Rt△GBP≌Rt△FPE（ASA），
∴GP=EF，
∴DF=EF．
（2）解：能够；
∵∠CEP≥90°，
若△PEC为等腰三角形，只能是∠CPE=∠ECP=45°，
则PE⊥CE，
∵PE⊥PB，
∴BP∥CD，
∴BP∥BA
于是P与AB共线，又P在AC上，
∴A与P共点，
此时，PA=0，PC=4$\sqrt{2}$；
作PE⊥PB交直线CD于点E，如图2所示：
当PA=4时，E在DC的延长线上，PC=CE，
∴△PEC为等腰三角形，
∴PA=4，PC=4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、正方形的性质勾股定理、矩形的性质和判定等知识点的连接和掌握，特别是通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．